Come risolvere ciascuno dei sistemi di congruenze lineari

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Come risolvere ciascuno dei sistemi di congruenze lineari

Le congruenze lineari sono le relazioni tra le grandezze che hanno lo stesso resto dopo essere state divise da un numero intero, dove le quantità sono costanti o polinomi di primo grado. le congruenze lineari sono di solito specificate nella forma ax ≡ b (mod n), dove b è il resto e n è il numero intero – spesso definito come il modulo – con il quale ax è diviso. Risolvere un sistema di congruenze lineari significa trovare i valori per le variabili che soddisfano ciascuna delle congruenze in un sistema.

Istruzioni

Quello che vi serve
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1. Trovare il massimo comun divisore per il modulo e il coefficiente della variabile, per ogni congruenza. Se il resto della congruenza è divisibile per il massimo comun divisore, allora la congruenza ha una soluzione. Inoltre, per ax ≡ b (mod n), il massimo comun divisore di n ed a è il numero di soluzioni per x quando x è compreso tra 0 e n.

Ad esempio, nella congruenza 4x ≡ 2 (mod 6), il massimo comun divisore di 6 e 4 è 2, e 2 – il resto – è divisibile per 2 – il massimo comune divisore, per cui questa congruenza ha 2 soluzioni. Se una qualsiasi delle congruenze non ha soluzioni, allora non vi è alcuna soluzione al sistema.

2. Risolvere la congruenza prima usando la formula x = b + kn, dove n è il modulo ed e b è il resto. Se le congruenze sono x ≡ 3 (mod 5) e x ≡ 5 (mod 8), allora x = 5k 3 per la prima congruenza.

3. Sostituire il valore di x in termini di k nell’equazione successiva. Nell’esempio di cui sopra, ciò significherebbe che 5k 3 ≡ 5 (mod 8). Sottraendo 3 da entrambe le parti si ha 5k ≡ 2 (mod 8). Risolvere per k con l’aggiunta di 8, il modulo, a 2, il resto, fino a raggiungere un numero divisibile per 5.

In questo caso, 2 8 = 10, e 10 è divisibile per 5, così 5k ≡ 10 (mod 8). Dividere attraverso il 5 per ottenere k ≡ 2 (mod 8), oppure k = 8m +2. Se ci sono più di due congruenze, quindi ripetere questo passaggio per ogni congruenza supplementare, con una nuova variabile per ogni congruenza.

4. Sostituire il valore di k dalla congruenza nel secondo il valore per x in congruenza prima di trovare un valore per x che lavorerà per entrambe le congruenze. Nell’esempio precedente, perché k = 8m 2, quindi x = 5 (8m +2) +3 = 40 +13, oppure x ≡ 13 (mod 40). Questo significa che i valori per x saranno sia per x ≡ 3 (mod 5) e x ≡ 5 (mod 8) sono 13, 53, 93, ecc.

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