Come trovare l’equazione del piano tangente alla superficie

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Come trovare l’equazione del piano tangente alla superficie

Un piano tangente rappresenta la pendenza di una superficie in qualsiasi direzione. Come camminare sul lato di una collina, la direzione scelta determinerà la pendenza del percorso. Una applicazione pratica per i piani tangenti è l’approssimazione lineare. I punti del piano in prossimità del punto di tangenza saranno approssimativamente uguali a punti corrispondenti sulla superficie curva. Tuttavia, l’equazione per il piano è generalmente molto più facile rispetto a quella della superficie.

istruzioni

1. Trova le derivate parziali rispetto alla x, y, z dell’equazione della superficie. Ad esempio, data l’equazione z ^ 2 + 2xy – 3y ^ 2 = 4, fx = 2y, fy = 2x – 6y e fz = 2z, dove fx, fy e fz sono le derivate parziali rispetto alla x, y, z , rispettivamente.

2. Valutare ciascuna delle derivate parziali per il punto in cui il piano è tangente. Ad esempio, dato il punto (-1, 0, 2), fx = 2 * 0 = 0, fy = 2 * (-1) – 6 * 0 = -2 e fz = 2 * 2 = 4. Questi valori corrispondono anche al vettore gradiente nel punto dato: (0, -2, 4).

3. Inserire i valori nella formula fx * (x – h) + fy * (y – k) + fz * (z – l) = 0, dove h, k e l sono le coordinate del punto dato. Ad esempio, 0 * (x – (-1)) + -2 * (y – 0) + 4 * (z – 2) = 0. Questo semplifica in z = y / 2 + 2.

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