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Come trovare l’equazione del piano tangente alla superficie

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Un piano tangente rappresenta la pendenza di una superficie in qualsiasi direzione. Come camminare sul lato di una collina, la direzione scelta determinerà la pendenza del percorso. Una applicazione pratica per i piani tangenti è l’approssimazione lineare. I punti del piano in prossimità del punto di tangenza saranno approssimativamente uguali a punti corrispondenti sulla superficie curva.

Tuttavia, l’equazione per il piano è generalmente molto più facile rispetto a quella della superficie.

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istruzioni

1. Trova le derivate parziali rispetto alla x, y, z dell’equazione della superficie.

Ad esempio, data l’equazione z ^ 2 + 2xy – 3y ^ 2 = 4, fx = 2y, fy = 2x – 6y e fz = 2z, dove fx, fy e fz sono le derivate parziali rispetto alla x, y, z , rispettivamente.

2. Valutare ciascuna delle derivate parziali per il punto in cui il piano è tangente. Ad esempio, dato il punto (-1, 0, 2), fx = 2 * 0 = 0, fy = 2 * (-1) – 6 * 0 = -2 e fz = 2 * 2 = 4.

Questi valori corrispondono anche al vettore gradiente nel punto dato: (0, -2, 4).

3. Inserire i valori nella formula fx * (x – h) + fy * (y – k) + fz * (z – l) = 0, dove h, k e l sono le coordinate del punto dato. Ad esempio, 0 * (x – (-1)) + -2 * (y – 0) + 4 * (z – 2) = 0. Questo semplifica in z = y / 2 + 2.


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